Объёмы и поверхности тел вращения

Учитель математики МОУ СОШ №8

х. Шунтук Майкопскского района Республики Адыгея

Грюнер Наталья Андреевна

900igr.net

1.Виды тел вращения 2.Определения тел вращения: а)цилиндр

3.Сечения тел вращения:

а)цилиндр

4.Объёмы тел вращения 5.Площади поверхностей тел вращения

Завершить работу

ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси

Конус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси

Шар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА

Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА

Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник.

Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его ось

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.

СЕЧЕНИЯ ШАРА

Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Шаровой сегмент

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен.

V=2/3 *П* R 2 *Н

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S=4* П *R*R

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен .

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис.). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х - абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

Так как , то (2.6.2)

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при

, получим

Теорема доказана.

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

• Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента.
• Объема сегмента

Шаровой сектор. Объём шарового сектора.

• Шаровой сектор, тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.

• Объём сектора

• V=2/3 П R 2 H

Задача № 1.

• Цистерна имеет форму цилиндра,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?

Шаровые сегменты.

ответ:~6,78.

Задача № 2.

• О- центр шара.
• О 1 -центр круга сечения шара. Найти объём и площадь поверхности шара.

Дано: шар сечение с центром О 1 . R сеч. =6см. Угол ОАВ=30 0 . V шара =? S сферы = ?

• Решение :

V=4/3 П R 2 S=4 П R 2

В ∆ ОО 1 А : угол О 1 =90 0 ,О 1 А=6,

угол ОАВ=30 0 . tg 30 0 =ОО 1 / О 1 А ОО 1 =О 1 А* tg30 0 .ОО 1 =6*√3 ÷ 3 =2 √3

ОА= R=OO 1 ( по св-ву катета леж.против угла 30 0 ).

ОА=2√3 ÷2 =√3

V=4 П(√3) 2 ÷ 3=(4*3,14*3) ÷ 3=12,56

S= 4П(√3) 2 =4*3,14*3=37,68

Ответ :V=12 ,56; S=37 ,68.

Задача № 3

Полуцилиндрический свод подвала имеет 6м. длины и 5,8м. в диаметре.Найдите полную поверхность подвала.

Дано: Цилиндр.АВСД-осевое сечение. АД=6м. D= 5,8м. S п.под.= ?

• Решение:

• S п.под. =(S п ÷ 2)+ S АВСД
• S п ÷ 2= (2П Rh+2 П R 2)÷2=2(П Rh+ П R 2)÷2= П Rh+ П R 2
• R=d÷2=5 ,8 ÷ 2=2,9 м.
• S п ÷ 2=3,14*2,9+3,14*(2,9) 2 =

54,636+26,4074=81,0434

АВСД-прямоуг.(по опр.осев.сеч.)

S АВСД= АВ*АД=5,8*6=34,8м 2

S п.под. =34,8+81,0434≈116м 2 .

Ответ:S п.под. ≈116м 2 .

Объемы тел
Составитель: Юминова Олеся Викторовна, учитель математики Красноярского аграрного техникума

Цели урока:
Ввести понятие объема тел, его свойств, единиц измерения объёма. Повторить с учащимися формулы для нахождения объёма параллелепипеда, куба. Познакомить учащихся с объёмами прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями.

Подобно тому как все искусстватяготеют к музыке, все наукистремятся к математике. Д. Сантаяна

Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах. Пойа Д.

Площадь Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Объем Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Свойства площадей: 1. Равные многоугольники имеют равные площади
Свойства объемов: 1. Равные тела имеют равные объемы
F1
F2
F1
F2

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. SF=SF1+SF2+SF3+SF4
2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. VF=VF1+VF2

Площадь За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. 1 км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2 , 1 а, 1 га и т.д.
Объем За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. Аналогично определяют 1 м3, 1 дм3, 1 см3 , 1 мм3 и т.д.
1
1
1
1
1

Площадь Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади
Объем Равновеликими называются тела, объемы которых равны
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1

В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.

Объем прямоугольного параллелепипеда:
а-длина b-ширина с- высота V=a.b.c Sосн= a.b V=Sосн.H

Объем куба:
V=a3 V=Sосн.H
Sосн=a2

Объем прямой призмы:
V=Sосн.H
Vпарал=Sосн.H S осн=2.SABC По свойству объемов Vпарал= 2.SABС.H V призмы = (V парал) :2 V призмы = (2.SABС. H): 2

Объем пирамиды:
У 2 и 3 пирамиды- SC- общая, тр CC1B1= тр CBB1 У 1 и 3 пирамиды- СS- общая, тр SAB= тр BB1S V1=V2=V3 V призмы= 3 V пирам Vпирамиды=1 V призмы 3 Vпирамиды=1 Sосн.H 3
Достроим пирамиду ABCS до призмы. Достроенная призма будет состоять из 3 пирамид- SABC, SCC1B1, SCBB1

Объем цилиндра:
Обозначения: R - радиус основания H - высота L - образующая L=H V - объем цилиндра
V = ПR2H - объём V= Sосн.H Sосн= ПR2

Конус:
ОБОЗНАЧЕНИЯ: R - радиус основания L - образующая конусаH – высота V – объем V=1ПR2Н 3 - объём

Это интересно:
В геологии существует понятие "конус выноса". Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
В биологии есть понятие "конус нарастания". Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
"Конусами" называется семейство морских молюсков подкласса пережнежаберных. Укус конусов очень опасен. Известны смертельные случаи.
В физике встречается понятие "телесный угол". Это конусообразный угол, вырезанный в шаре.

Проверь свои знания:
Сформулируйте понятие объема. Сформулируйте основные свойства объемов тел. Назовите единицы измерения объема тел. Назовите формулу для измерения объема - прямоугольного параллелепипеда; - объема куба; - объем прямой призмы; - объем пирамиды; - объем цилиндра и объем конуса. Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза? V = ПR2H V=П(2R)2 .H =П4R2. H =ПR2. H 4 4 Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид? Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?

Домашняя работа:
Выучить формулы объемов тел, определения. № 648(а,в), № 685, № 666(а,в)

Закрепление пройденного материала:
Задача №1 Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба? + + =

Cлайд 1

Объёмы и поверхности тел вращения Учитель математики МОУ СОШ №8 х. Шунтук Майкопскского района Республики Адыгея Грюнер Наталья Андреевна

Cлайд 2

Cлайд 3

оглавление 1.Виды тел вращения 2.Определения тел вращения: а)цилиндр б)конус в)шар 3.Сечения тел вращения: а)цилиндр б)конус в)шар 4.Объёмы тел вращения 5.Площади поверхностей тел вращения Завершить работу

Cлайд 4

ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси Конус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси Шар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

Cлайд 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.

Cлайд 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

Cлайд 7

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник. Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его ось Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.

Cлайд 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Cлайд 9

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось. Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Cлайд 10

СЕЧЕНИЯ ШАРА Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

Cлайд 11

ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ фигура формула правило цилиндр V=S*H Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. конус V=1/3*S*H Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. шар V=4/3*П*R3 Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен. Шаровой сегмент Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента. Шаровой сектор V=2/3*П*R2*Н Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

Cлайд 12

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ фигура правило Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S=4*П*R*R

Cлайд 13

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен. Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис.). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х - абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим: (2.6.1) Так как, то (2.6.2) Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х,удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при, получим Теорема доказана.

Cлайд 14

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента. Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объема сегмента

Cлайд 15

Шаровой сектор. Объём шарового сектора. Шаровой сектор, тело, которое получается из шарового сегмента и конуса. Объём сектора V=2/3ПR2H

Cлайд 16

Задача № 1. Цистерна имеет форму цилиндра,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?

Тела вращения Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Ось вращения

Шар: история Оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Гигантский шар в игрушечном городе Это - космический корабль "Земля", рсположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА в штате Флорида. По задумке эта сферическая конструкция должна оли- цетворять будущее человечества. Это - космический корабль "Земля", рсположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА в штате Флорида. По задумке эта сферическая конструкция должна оли- цетворять будущее человечества.

Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Если сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

«Цилиндр геометрия 11 класс» - 3.Ось цилиндра. 2. 3.Получение цилиндра. 4. Радиус основания. Геометрия 11 класс. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку. 4. Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси. Теоретический материал Задачи. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр. 1.Примеры цилиндров. 1.

«Урок Объём цилиндра» - Цилиндрическая поверхность. Устные упражнения по теме. B. Осевое сечение - ……………. Н. D1. Любые осевые сечения цилиндра ….. между собой. План урока. A1. D. A. Прямой цилиндр.

«Поверхность цилиндра» - Film by: A. Shevchenko R. Trushenkov. «Понятие цилиндра». L1. Образующие. Осевое сечение. L. Algebra & Geometria Entertainment. Ось цилиндра. Основания цилиндра.

«Цилиндр конус шар» - Определение цилиндра. Виды тел вращения. Объёмы тел вращения. Объёмы и поверхности тел вращения. Определение шара. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Объём шарового сегмента. Объём шарового сектора. Оглавление. Определение конуса. Сечения цилиндра. Сечения шара. Дано: Доказательство.

«Объём цилиндра» - Цилиндры из жизни. Объём цилиндра Объём конуса. Цилиндры-башни. Объём конуса. Цилиндр: история. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра. Конусы огромного размера. Объём усечённого конуса. Конус: история. Ведро – пример усечённого конуса. Водовзводная башня (Москва) Собственный дом архитектора К.Мельникова (Москва) Замок Сфорца (Милан).