Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X . Обычно обозначается . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X .
Wikimedia Foundation . 2010 .
Пересечение Мвсех подпространств, содержащих множество Авекторного пространства Е. При этом Мназ. также подпространством, порожденным А. М. И. Войцеховский … Математическая энциклопедия
Линейная оболочка векторов
Линейная оболочка векторов - множество линейных комбинаций этих векторов ∑αiаi со всеми возможными коэффициентами (α1, …, αn) … Экономико-математический словарь
линейная оболочка векторов - Множество линейных комбинаций этих векторов??iаi со всеми возможными коэффициентами (?1, …, ?n). Тематики экономика EN linear hull …
линейная алгебра - Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… … Справочник технического переводчика
Линейная зависимость - «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, где a1, a2, …, an числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, …, xn те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения … Экономико-математический словарь
Оболочка - см. Линейная оболочка … Экономико-математический словарь
Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X . Обычно обозначается . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X .
Wikimedia Foundation . 2010 .
ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА - пересечение Мвсех подпространств, содержащих множество Авекторного пространства Е. При этом Мназ. также подпространством, порожденным А. М. И. Войцеховский … Математическая энциклопедия
Линейная оболочка векторов
Линейная оболочка векторов - множество линейных комбинаций этих векторов ∑αiаi со всеми возможными коэффициентами (α1, …, αn) … Экономико-математический словарь
линейная оболочка векторов - Множество линейных комбинаций этих векторов??iаi со всеми возможными коэффициентами (?1, …, ?n). Тематики экономика EN linear hull …
линейная алгебра - Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… … Справочник технического переводчика
Линейная зависимость - «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, где a1, a2, …, an числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, …, xn те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения … Экономико-математический словарь
Оболочка - см. Линейная оболочка … Экономико-математический словарь
Линейная зависимость
Линейная комбинация - Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА - группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия
1. Множество многочленов P n (x ) степени не выше n .
2. Множество n -членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр).
3 . Множество функций C [ а , b ] непрерывных на [а , b ] и с поточечным сложением и умножением на скаляр.
4. Множество функций, заданных на [а , b ] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c ) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр.
5. Множество R + , если x ⊕ y x y , ⊙x x .
Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W V ) и такое, что
а) x , y W x ⊕ y W ;
б) x W , ⊙ x W .
Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V ).
Такое множество W называется подпространством пространства V .
7 . Подпространство W само является пространством.
◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙x = и (–1)⊙х = –х доказывают необходимое.
Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {}и подпространство, совпадающее с самим пространством V , называются тривиальными подпространствами пространства V .
Пусть векторы e 1 , e 2 , … e n V и 1 , 2 , … n .
Вектор x = 1 e 1 + 2 e 2 + … + n e n = называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 , … , e n с коэффициентами 1 , 2 , … n .
Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной.
Множество
всевозможных линейных комбинаций
векторов
называется
линейной оболочкой
этой системы векторов и обозначается:
ℒ(e
1 ,
e
2 ,
…, e
n
)
= ℒ
.
8 . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n
◀ Корректность
операций сложения и умножения на скаляр
следует из того, что ℒ(e
1 ,
e
2 ,
…, e
n
)
– это множество всевозможных линейных
комбинаций. Нейтральный элемент – это
тривиальная линейная комбинация. Для
элемента х
=
противоположным является элемент –x
=
.
Аксиомы, которым должны удовлетворять
операции, также выполнены. Таким образом,ℒ(e
1 ,
e
2 ,
…, e
n
)
является линейным пространством.
Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек
В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:
Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)?
2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?
3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?
Если
в пространстве V
существует конечный набор векторов
такой что,ℒ
V
,
то система векторов
называется полной системой вV
,
а пространство называется конечномерным.
Таким образом, система векторов e
1 ,
e
2 ,
…, e
n
V
называется полной в V
системой, т.е. если
х V 1 , 2 , … n такие, что x = 1 e 1 + 2 e 2 + … + n e n .
Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V ), то пространство V называется бесконечномерным.
9
.
Если
полная вV
система
векторов и y
V
,
то {e
1 ,
e
2 ,
…, e
n
,
y
}
– также полная система.
◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0.
Пусть – система векторов из . Линейной оболочкой
системы векторов
называется множество всех линейных комбинаций векторов данной системы, т.е
Свойства линейной оболочки: Если , то для и .
Линейная оболочка обладает свойством замкнутости по отношению к линейным операциям (операции сложения и умножения на число).
Подмножество пространства , обладающее свойством замкнутости по отношению к операциям сложения и умножения на числа, называется линейным подпространством пространства .
Линейная оболочка системы векторов – линейное подпространство пространства .
Система векторов из называется базисом 
,если
Любой вектор можно выразить в виде линейной комбинации базисных векторов:
2. Система векторов линейно независима.
Лемма Коэффициенты разложения вектора 
по базису определены однозначно.
Вектор 
, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису называется координатным вектором вектора в базисе
.
Обозначение
. Данная запись подчеркивает, что координаты вектора зависят от базиса.
Линейные пространства
Определения
Пусть дано множество элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения и умножения на любое вещественное число : , и множество замкнуто относительно этих операций: . Пусть эти операции подчиняются аксиомам:
3. в cуществует нулевой вектор со свойством для ;
4. для каждого существует обратный вектор со свойством ;
6. для , ;
7. для , ;
Тогда такое множество называется линейным (векторным) пространством , его элементы называются векторами , и - чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из - последние называютсяскалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .
Если в аксиомах 6 - 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называетсякомплексным . Для упрощения рассуждений всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные пространства.
Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.
Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору : 
, его привычно обозначают .
Подмножество линейного пространства , само являющееся линейным пространством (т.е. замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства . Тривиальными подпространствами линейного пространства называются само и пространство, состоящее из одного нулевого вектора .
Пример. Пространство упорядоченных троек вещественных чисел
операциями, определяемыми равенствами:
Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан в координатах своего конца . На рисунке показано и типичное подпространство пространства : плоскость, проходящая через начало координат. 
Точнее говоря, элементами являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы - в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.
Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе произвольного линейного пространства как оточке пространства . Иногда эту точку называют «концом вектора ». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.
Пример. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3)) - оно определяет набор «сдвигов» точек пространства . Эти сдвиги - или параллельные переносы любой пространственной фигуры - выбираются параллельными плоскости .
Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу - как к объекту, имеющему величину инаправление - вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ☞ЗДЕСЬ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.
Пример.
Естественным обобщением служит пространство : векторное пространство строк или столбцо 
. Один из способов задания подпространства в - задание набора ограничений.
Пример. Множество решений системы линейных однородных уравнений:
образует линейное подпространство пространства . В самом деле, если
Решение системы, то и
Тоже решение при любом . Если
Еще одно решение системы, то и
Тоже будет ее решением.
Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?
Пример.
Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей
, обычно являющееся объектом математического анализа - при рассмотрении последовательностей и рядов. Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» - они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.
Пример. Множество -матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство.
В пространстве квадратных матриц порядка можно выделить два подпространства: подпространство симметричных матриц и подпространство кососимметричных матриц. Кроме того, подпространства образуют каждое из множеств: верхнетреугольных, нижнетреугольных идиагональных матриц.
Пример. Множество полиномов одной переменной степени в точности равной с коэффициентами из (где - любое из множеств или ) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из не образует линейного пространства. Почему? - Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов и не будет полиномом -й степени. Но вот множество полиномов степенине выше
линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами являются . Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше . Множество всевозможных полиномов (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.
Пример. Обобщением предыдущего случая будет пространствополиномов нескольких переменных степени не выше с коэффициентами из . Например, множество линейных полиномов
образует линейное пространство. Множество однородных полиномов(форм) степени (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) - также линейное пространство.
С точки зрения приведенного выше определения, множество строк с целочисленными компонентами
рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на целочисленные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 - 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ☞ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
Переменных изоморфно пространству симметричных матриц -го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая :
Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «для образца»? - См. концовку следующего пункт
