Ускорением называют векторную величину которая равна. Ускорение

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением ).

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) , а n = 0 - прямолинейное равномерное движение;

2) , а n = 0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t 1 =0, а начальная скорость v 1 =v 0 , то, обозначив t 2 =t и v 2 =v, получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

· 3) , а n = 0- прямолинейное движение с переменным ускорением;

· 4) , а n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a n =v 2 /r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

· 5) , - равномерное криволинейное движение;

· 6) , - криволинейное равнопеременное движение;

· 7) , - криволинейное движение с переменным ускорением.

2) Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных

Элементарное угловое перемещение – это вектор, направленный вдоль оси по правилу правого винта и численно равный углу

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Единица - радиан в секунду (рад/с).

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедленном - противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

При движении точки по кривой линейная скорость направлена

по касательной к кривой и по модулю равна произведению

угловой скорости на радиус кривизны кривой.(связь)

3) Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение называется уравнением движения материальной точки .

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона : всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F 12 = – F 21 , (7.1)

где F 12 - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F 21 - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.

В случае упругих деформаций является потенциальной. Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.

Вектор силы противоположен направлению деформации тела (смещению его молекул).

Закон Гука

В простейшем случае одномерных малых упругих деформаций формула для силы упругости имеет вид: где k - жёсткость тела, x - величина деформации.

СИЛА ТЯЖЕСТИ, сила P, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности, и определяемая как геометрическая сумма силы притяжения Земли F и центробежной силы инерции Q, учитывающей эффект суточного вращения Земли. Направление силы тяжести - вертикаль в данной точке земной поверхности.

существованием силы трения , которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки »0,1 мкм и меньше).

опытным путем установили следующий закон : сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = f N ,

где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

f = tga 0 .

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a 0 , при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

F тр = f ист (N + Sp 0) ,

где р 0 - добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S - площадь контакта между телами; f ист - истинный коэффициент трения скольжения.

Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

F тр =f к N/r , (8.1)

где r - радиус катящегося тела; f к - коэффициент трения качения, имеющий размерность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Жидким (вязким) называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой или ее слоями.

где - импульс системы. Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С ,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

5) Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

где a- угол между r и F; r sina = l - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

Используя выражение (17.1), получаем

где J z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv 2 /2), следует, что момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m - масса катящегося тела; v c - скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w - угловая скорость тела.

6) Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы . Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения (F s = F cos), умноженной на перемещение точки приложения силы:

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

где  - угол между векторами F и dr; ds = |dr| - элементарный путь; F s - проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности :

За время dt силаF совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.

Единица мощности -ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение dr получаем

Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными , а силы, действующие в них, - консервативными . Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной ; ее примером является сила трения.

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0 =0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h" ), П= -mgh".

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F x уп p - проекция силы упругости на ось х ; k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость ), а знак минус указывает, что F x уп p направлена в сторону, противоположную деформации x .

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

Элементарная работа dA, совершаемая силой F x при бесконечно малой деформации dx, равна

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d (T +П) = 0,

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранение механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Виды ускорений в СТО.

Итак, мы показали, что существует два вида измеримых скоростей. Кроме того, быстрота, измеряемая в тех же единицах, тоже очень интересна. При малых значениях все эти скорости равны.

А сколько же существует ускорений? Какое ускорение должно быть константой при равноускоренном движении релятивистской ракеты, чтобы космонавт всегда оказывал на пол ракеты одну и ту же силу, чтобы он не стал невесомым, или чтобы он не умер от перегрузок?

Введем определения разных видов ускорений.

Координатно-координатное ускорение dv /dt это изменение координатной скорости , измеренное по синхронизированным координатным часам

dv /dt=d 2 r /dt 2 .

Забегая вперед, заметим, что dv /dt = 1·dv /dt = g 0 dv /dt.

Координатно-собственное ускорение dv /dt это изменение координатной скорости, измеренное по собственным часам

dv /dt=d(dr /dt)/dt = gd 2 r /dt 2 .
dv /dt = g 1 dv /dt.

Собственно-координатное ускорение db /dt это изменение собственной скорости, измеренное по синхронизированным координатным часам , расставленным по ходу движения пробного тела:

db /dt = d(dr /dt)/dt = g 3 v (v dv /dt)/c 2 + gdv /dt.
Если v || dv /dt, тогда db /dt = g 3 dv /dt.
Если v перпендикулярно dv /dt, тогда db /dt = gdv /dt.

Собственно-собственное ускорение db /dt это изменение собственной скорости, измеренное пособственным часам , связанным с движущимся телом:

db /dt = d(dr /dt)/dt = g 4 v (v dv /dt)/c 2 + g 2 dv /dt.
Если v || dv /dt, тогдаdb /dt = g 4 dv /dt.
Если v перпендикулярно dv /dt, тогда db /dt = g 2 dv /dt.

Сравнивая показатели при коэффициенте g в четырех типах ускорений, записанных выше, замечаем, что в этой группе отсутствует член с коэффициентом g 2 при параллельных ускорениях. Но мы еще не взяли производные от быстроты. Это ведь тоже скорость. Возьмём производную по времени от быстроты, воспользовавшись формулой v/c = th(r/c):

dr/dt = (c·arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

А если взять dr/dt, получим:

dr/dt = g 3 dv/dt,

или dr/dt = db/dt.

Следовательно, мы имеем две измеримые скорости v и b , и ещё одну, неизмеримую, но наиболее симметричную, быстроту r. И шесть видов ускорений, два из которых dr/dt и db/dt совпадают. Какое же из этих ускорений является собственным, т.е. ощущаемым ускоряющимся телом?

К собственному ускорению мы вернемся ниже, а пока выясним, какое ускорение входит во второй закон Ньютона. Как известно, в релятивистской механике второй закон механики, записанный в видеf =ma , оказывается ошибочным. Вместо него силу и ускорение связывает уравнение

f = m (g 3 v (va )/c 2 + ga ),

которое является основой для инженерных расчетов релятивистских ускорителей. Если мы сравним это уравнение с только что полученным уравнением для ускорения db /dt:

db /dt = g 3 v (v dv /dt)/c 2 + gdv /dt,

то заметим, что они отличаются лишь множителем m. То есть, можно записать:

f = m·db /dt.

Последнее уравнение возвращает массе статус меры инертности в релятивистской механике. Сила, действующая на тело, пропорциональна ускорению db /dt. Коэффициентом пропорциональности является инвариантная масса. Вектора силы f иускорение db /dt сонаправлены при любой ориентации векторов v иa , или b и db /dt.

Формула, записанная через ускорение dv /dt, не дает такой пропорциональности. Сила и координатно-координатное ускорение в общем случае не совпадают по направлению. Параллельными они будут лишь в двух случаях: если вектора v иdv /dtпараллельны друг другу, и если они перпендикулярны друг другу. Но в первом случае сила f =mg 3 dv /dt, а во втором - f =mgdv /dt.

Таким образом, в законе Ньютона мы должны использовать ускорение db /dt, то есть, изменениесобственной скоростиb , измеренное по синхронизированным часам.

Возможно с таким же успехом можно будет доказать, что f = mdr /dt, где dr /dt - вектор собственного убыстрения, но быстрота величина неизмеримая, хотя и легко вычисляема. Будет ли верно векторное равенство, сказать не берусь, но скалярное равенство справедливо в силу того, что dr/dt=db/dt и f =mdb /dt.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение > – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

где – вектор ускорения .

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0 . В момент времени t2 тело имеет скорость . Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = - 0 . Тогда определить ускорение можно так:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.

В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Мгновенное ускорение

Направление ускорения также совпадает с направлением изменения скорости Δ при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости. Вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие оси координат в данной системе отсчёта (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости 2 . Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

Тангенциальное ускорение

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов :

= τ + n

Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки

Содержание

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1) ;
(2) .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .

См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна a x . Тогда проекция скорости v x и x - координата этой точки зависят от времени t по закону:
v x = v x0 + a x t ;
,
где v x0 и x 0 - скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0 .

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O . Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z - координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy . Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z :
; .
Пусть φ - угол поворота тела, который зависит от времени t . Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z :
;
.

Рассмотрим движение точки M , которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r .
Скорость точки :
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение :
a τ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение :
.
Оно направлено к оси вращения O .
Полное ускорение :
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения :
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε , угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω 0 + ε t ;
,
где ω 0 и φ 0 - угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0 .

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B . Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P . Угловая скорость вращения тела:
.

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω , то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1) , которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M относительно точки A . То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω , если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM| .
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A .

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2) . Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A , считая точку A неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A . Здесь ω и ε - угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Центростремительное ускорение - составляющая ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая составляющая, тангенциальное ускорение , характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение ». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой .

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

Осестремительное ускорение в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Элементарная формула [ | ]

a n = v 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}\ } a n = ω 2 R , {\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R\ ,}

где a n {\displaystyle a_{n}\ } - нормальное (центростремительное) ускорение, v {\displaystyle v\ } - (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, ω {\displaystyle \omega \ } - (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, R {\displaystyle R\ } - радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая v = ω R {\displaystyle v=\omega R\ } ).

Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на e R {\displaystyle \mathbf {e} _{R}} - единичный вектор от центра кривизны траектории к данной её точке:

a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R {\displaystyle \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{R}={\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} } a n = ω 2 R . {\displaystyle \mathbf {a} _{n}=\omega ^{2}\mathbf {R} .}

Эти формулы равноприменимы как к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором случае надо иметь в виду, что центростремительное ускорение это не полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории движения (или перпендикулярная вектору мгновенной скорости); В полный же вектор ускорения входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение ) a τ = d v / d t {\displaystyle a_{\tau }=dv/dt\ } , сонаправленная касательной к траектории движения (или, что то же, мгновенной скорости) .

Мотивация и вывод [ | ]

То, что разложение вектора ускорения на компоненты - одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) - может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

Формальный вывод [ | ]

Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное

d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ }

и, из геометрических соображений,

d e τ d l = e n R . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.} v 2 R e n {\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ }

Нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что e n {\displaystyle \mathbf {e} _{n}\ } - действительно вектор нормали) - будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, - достаточно простой факт); в данном случае мы применяем это утверждение для d e τ d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}}

Замечания [ | ]

Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой (поскольку в случае, когда кривая - окружность, R {\displaystyle R} совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что окружность в плоскости e τ , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau },\,e_{n}} с центром в направлении e n {\displaystyle e_{n}\ } от данной точки на расстоянии R {\displaystyle R} от неё - будет совпадать с данной кривой - траекторией - с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

Тематические материалы: