Слайд 3
Правильные многоугольники
Слайд 4
«Три качества: обширные знания, привычка мыслить и благородство чувств – необходимы для того, чтобы человек был образованным в полном смысле слова».Н.Г.Чернышевский
Слайд 5
Слайд 6
Симонов монастырь
Слайд 7
Какие геометрические фигуры нами уже изучены? Каковы их элементы? Какая фигура называется многоугольником? Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник? Какой многоугольник называется выпуклым? Покажите на рисунке выпуклые и невыпуклые многоугольники. Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника, внешними углами. По какой формуле вычисляется сумма углов выпуклого многоугольника? Что такое периметр многоугольника?
Слайд 8
Вопросы к кроссворду: Стороны, углы и вершины многоугольника? Как называется многоугольник с равными сторонами и углами? 3.Как называется фигура, которую можно разбить на конечное число треугольников? 4.Часть окружности? 5.Граница многоугольника? 6.Элемент окружности? 7.Элемент многоугольника? 8.Граница круга? 9.Многоугольник с наименьшим числом сторон? 10.Угол, вершина которого находится в центре окружности? 11.Другой вид угла окружности? 12.Сумма длин сторон многоугольника? 13.Многоугольник, который находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону?
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Чему равен каждый из углов правильного а)десятиугольника; б) n-угольника.
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Практическая работа. 1.Семиглавая башня Белого города в плане являлась правильным шестиугольником, все стороны которого равны 14 м. Вычертите план этой башни. 2. Измерьте угол АОВ. Какую часть его величина составляет от величины полного угла O? Как можно вычислить величину этого угла, зная число сторон многоугольника? 3.Измерьте угол CAK - внешний угол многоугольника. Вычислите сумму внешнего угла CAK и внутреннего угла CAB. Почему сумма этих углов всегда составляет 180°? Чему равна сумма внешних углов правильного шестиугольника, взятых по одному при каждой вершине?
Слайд 15
Слайд 16
Диаметр основания башни Дуло - 16м. Вычертите план основания 16-гранной башни, используя при построении величину угла, под которым из центра окружности видна сторона многоугольника. Вычислите внутренний и внешний углы этого 16-угольника. Чему равна сумма внешних углов правильного 16-угольника, взятых по одному при каждой вершине?Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, взятых по одному при каждой вершине? № 1082, 1083.
Cлайд 1
Cлайд 2
Определение правильного многоугольника. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.
Cлайд 3
Cлайд 4
Окружность, описанная около правильного многоугольника. Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.
Cлайд 5
Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Cлайд 6
Пусть А1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки Н1 , Н2, Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник. Доказать: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Cлайд 7
Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.
Cлайд 8
А D B C O Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник. Доказать: около любого правильного многоугольника можно провести окружность, и притом только одну. Доказательство: Проведём биссектрисы ВО и СО равных углов АВС и ВСD. Они пересекутся, так как углы многоугольника выпуклые и каждый меньше 180⁰. Пусть точка их пересечения – О. Тогда, проведя отрезки ОА и OD, получим ΔВОА, ΔВОС и ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС по первому признаку равенства треугольников (ВО – общая, АВ=ВС, угол 2 = углу 3). Аналогично ΔВОС=ΔCOD. 1 2 3 4 Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.
Cлайд 9
Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аn можно описать только одну окружность. o A B C D
Cлайд 10
Следствия. Следствие №1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие №2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Cлайд 11
Формула для вычисления площади правильного многоугольника. Пусть S – площадь правильного n-угольника, a1 – его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что
Cлайд 12
Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна Следовательно,
Cлайд 13
Формула для вычисления стороны правильного многоугольника. Выведем формулы: Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О O А1 А2 А3 Аn H2 H1 Hn H3 Следовательно,
Cлайд 14
Полагая в формуле n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
Cлайд 15
Задача №1 Дано: окружность(О; R) Построить правильный n- угольник. окружность разделим на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8). Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник. Построение правильных многоугольников.
Cлайд 16
Задача №2 Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник Построить правильный 2n-угольник Решение. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1. Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополам Каждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника. На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1 В1 А2 В2 ... А6 В6.
Из истории Из истории Правильные многоугольники были известны еще в глубокой древности. В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных их камня. Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным многоугольникам еще со времен Пифагора. Учение о правильных многоугольниках было систематизировано и изложено в 4 книге «Начал» Евклида.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ПЛАТОНОВЫ тела: Тетраэдр – «огонь» Куб– «земля» Октаэдр – «воздух» Додекаэдр – «весь мир» Икосаэдр – «вода»
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – это пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. На этих шестиугольниках пчелы выращивают из воска ячейки, представляющие собой прямые шестиугольные призмы. В них пчелы и откладывают мед, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.
Источники информации: Детская энциклопедия "Я познаю мир" Математика, Москва, АСТ,1998. ru.wikipedia.org/wiki/История математики А..И.Азевич Двадцатьуроков гармонии: Гуманитарно- математический курс.-М.: Школа-Пресс,1998.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ (геометрия 9 класс) ВолодИНА н.л.
Цели урока: 1.Повторить понятие многоугольника, формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2.Познакомить с правильными многоугольниками, научить строить правильные многоугольники. 3.Сформировать навыки решения задач по теме.
УСТНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника? (n – 2) ∙ 180 ⁰ 2 . Как найти один угол шестиугольника, если все углы равны? (6 – 2) ∙ 180 ⁰ / 6 = 120⁰ 3. Как найти угол n -угольника, если все углы равны? (n – 2) ∙ 180 ⁰ / n
Чему равна сумма углов треугольника? 180 ⁰
Сумма углов многоугольника 1. Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника? 360 ⁰ 2.Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника? 720 ⁰
Разделите многоугольники на две группы
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Произвольные многоугольники
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны
Правильный треугольник Равносторонний треугольник Все стороны равны. Все углы по 60.⁰
Правильный четырёхугольник Квадрат Все стороны равны. Все углы по 90.⁰
Правильный пятиугольник Все стороны равны Все углы по 108⁰
Правильный шестиугольник Все стороны равны Все углы по 120⁰
ИТОГОВЫЕ ВОПРОСЫ: 1.Какой многоугольник называется правильным? 2.Существует ли правильный 10-угольник? 20-угольник? 3.Как построить правильный многоугольник?
Нестандартный урок геометрии в 9 классе. Игра «Математик – бизнесмен» по теме «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга»....
Разработка урока по геометрии 9 класс "Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности"
Разработка урока-изучения нового материала по геометрии в 9 классе "Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности" Конспект урока по геомет...
Правильные многоугольники. Порядок и хаос.
Конспект урока геометрии в 9 классе на тему: "Правильные многоугольники. Порядок и хаос."Одна тема - предметная, вторая - метапредметная....
Презентация "Площадь правильного многоугольника"
Презентация к уроку геометрия в 9 классе, содержит необходимые определения и формулы для вычисления площади правильных многоугольников....
