Пусть вдоль оси х навстречу друг другу распространяются две плоские гармонические волны с одинаковыми частотами и амплитудами:

.

Все частицы упругой среды, охваченной волновым про-цессом, будут участвовать в колебаниях, возбуждённых каждой из волн:

x = x 1 + x 2 = + .

Используя тригонометрическую формулу для суммы коси-нусов, получаем

где А (х ) = 2Acoskx .

Полученное выражение показывает, что частицы упругой среды, охваченные двумя волновыми процессами, совершают гармонические колебания с частотой w.

Амплитуда колебаний частиц среды зависит от координаты х .

В точках, координаты которых отвечают условию kx = ± n p, где n = 0, 1, 2, 3... coskx = ±1 и амплитуда колебаний частиц среды максимальна. Такие точки называются пучностями . Координаты пучностей определяются соотношением .

В точках, отвечающих условию амплитуда равна нулю, т. е. частицы среды в этих точках не колеблются вообще. Такие точки называют узлами . Координаты узлов определяются соотношением .

Поскольку амплитуда колебаний частиц среды определяется их координатой и не зависит от времени, постольку положение узлов и пучностей не изменяется. Узлы и пучности остаются на одном месте. Поэтому волну, возникающую в результате нало-жения встречных волн одинаковой частоты, называют стоячей .

Рассмотрим натянутую струну, концы которой жёстко за-креплены. Пусть длина струны равна l.

Допустим, что в этой струне возбуждены колебания.

Струну можно представить себе как совокупность бесконечно малых связанных между собой элементов. Колебания одного такого элемента должны вовлекать в колебательный процесс и другие элементы струны. Следовательно, если в струне возбудить колебания, то в ней возникнет упругая волна.

Конец струны жёстко закреплён, колебаться не может. Сле-довательно, он не может возбудить колебания в той среде, к ко-торой прикреплён. Поэтому волна, дошедшая до конца струны, полностью отразится.

Это означает, что по струне будут распространяться две встречные волны и .

Как показано выше, при наложении таких волн возникает стоячая волна. Это означает, что на струне с закреплёнными концами может возникнуть стоячая волна.

Поскольку мы говорим о струне с жёстко закреплёнными концами, на концах струны всегда должна быть узлы.

Из выражений для расчёта координат узлов и пучностей видно, что соседние узлы (так же как и пучности) отстоят друг от друга на l/2.

Следовательно, длина струны должна быть такой, чтобы на ней целое число раз укладывалась половина длины волны:

где n = 1, 2, 3...

Это, в свою очередь, означает, что на струне длинной l могут возникать стоячие волны лишь определённых частот

Эти частоты называются собственными частотами струны, или частотами нормальных колебаний. Колебания с такими частотами называют гармониками (колебание с частотой, соответствующей n = 1 называют первой гармоникой, n = 2 – второй гармоникой и т. д.).

Групповая скорость

В науке и технике волны широко используются для передачи информации. Однако гармоническая волна способна донести информацию лишь о том, что где-то есть источник волны.

Для того чтобы с помощью волн можно было передавать необходимое количество информации, их необходимо изменять (например, испускать волны в виде импульсов, или изменять амплитуду волны, её частоту, начальную фазу). Такая волна называется модулированной.

С помощью модулированных упругих волн определяют глубину морей и океанов (эхолот), а модулированные электро-магнитные волны позволяют осуществлять радио- и телевещание.

Но если модулированные волны отличаются от гармони-ческих способностью переносить информацию, то, возможно, им присущи и другие отличия.

Исследуем один из аспектов этой проблемы – найдём скорость, с которой модулированная волна переносит энергию.

Для этого рассмотрим две одинаково направленные плоские поперечные бегущие волны, колебания которых происходят в одной плоскости, амплитуды которых равны, а частоты почти одинаковы.

.

Эту волну можно представить в виде

,

,

т. е. это волна с медленно изменяющейся амплиту-дой, или модулированная, такая же, как на рисунке.

Показанная здесь кар-тина соответствует како-му-то моменту времени. В следующий момент она сдвинется вправо.

Найдём скорость, с ко-торой модулированная волна будет распространяться. Для простоты рассмотрим точку, в которой амплитуда максимальна, – скорость перемещения этой точки равна скорости модулиро-ванной волны.

Поведение точки с максимальной амплитудой описывается выражением . Но это выражение можно трактовать как уравнение бегущей волны с циклической частотой d w = w 1 –w 2 и волновым числом dk = k 1 – k 2 .

Для любой бегущей волны , и w=kv . Тогда скорость точки с максимальной амплитудой будет равна

,

где v 1 и v 2 – фазовые скорость волн с циклическими частотами w 1 и w 2 соотвественно.

Если дисперсии нет, то v 1 = v 2 = v и , т. е. «гребень» такой волны перемещается с фазовой скоростью.

Если же среда диспергирующая, то и скорость . Это означает, что «гребень» перемещается со скоростью, отличной от v 1 и v 2 .

Если вспомнить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то легко сообразить, что бóльшая часть энергии, переносимой такой волной, сконцентрирована там, где амплитуда волны велика. Это означает, что полученная скорость u есть скорость передачи энергии.

Эту скорость u и называют групповой :

Важно отметить, что фронт волны распространяется с групповой скоростью.

Электромагнитные волны

К середине XIX в. был открыт ряд важнейших законов в области электричества и магнетизма. Значительная часть открытий в этой области принадлежит Майклу Фарадею.

Этот крупнейший учёный, по праву считающийся осново-положником современной электродинамики, как это ни странно, не знал математики.

Поэтому открытые им явления не имели математического описания.

В 1854 г. в Кембриджский университет был принят на работу только что закончивший его Джеймс Клерк Максвелл. Основной целью своей деятельности он избрал математическое описание открытий Фарадея.

Это ему удалось (см. разд. 5.6, 5.7). Один из результатов деятельности Максвелла – предсказание о существовании электромагнитных волн.

Примерно через двадцать лет после этого электромагнитные волны были получены экспериментально немецким физиком Генрихом Герцем.

Рассмотрим механизм возникновения и некоторые особенности электромагнитных волн.

Допустим, что электрическое поле в вакууме создано зарядом, совершающим гармонические колебания.

Электрическое поле, созданное таким зарядом, также должно изменяться с течением времени по гармоническому закону.

Плотность тока смещения, созданного изменяющимся электрическим полем, равна . Поскольку производная от гармонической функции является гармонической функцией, постольку ток смещения также будет изменяться по гармони-ческому закону.

Ток смещения создаёт магнитное поле

.

Интеграл от гармонической функции также является гармо-нической функцией. Следовательно, маг-нитное поле, созданное током смещения, будет изменяться по гармоническому закону.

Важно отметить, что изменение электрического и магнитного полей опи-сывается одной и той же гармонической функцией.

Ток смещения совпадает по направлению с вектором ¶Е .

Вектор индукции магнитного поля всегда перпендикулярен создавшему его току.

Это означает, что магнитное поле, созданное изменяющимся электрическим полем, будет перпендикулярно ему.

В соответствии с уравнением Максвелла о циркуляции вектора Е , изменяющееся магнитное поле порождает электри-ческое. Причём порождаемое электрическое поле будет перпен-дикулярно изменяющемуся магнитному.

Это, в свою очередь, означает, что даже если исчезнет заряд, создавший изменяю-щееся электрическое поле, изменяющиеся электрическое и магнитное поля будут продолжать распространяться в прост-растве в виде электромагнитной волны.

Более строгий анализ позволяет пока-зать, что изменяющиеся электрическое и магнитное поля описываются волновыми уравнениями:

где с – скорость света в вакууме (если электромагнитная волна распространяется в среде, то используется скорость света в этой среде).

Решение этих уравнений имеет следующий вид:

,

где амплитуды Е и Н связаны соотношением .

Можно также показать, что если вектор Е па-раллелен оси х , а вектор В параллелен оси у , то электромагнитная волна распро-страняется вдоль оси z (см. рису-нок). Другими словами, векторы Е , Н и вектор скорости электро-магнитной волны с образуют правую тройку.

Важно отметить, что колеба-ния Е и Н синфазны.

ВЫ НЕ ПОВЕРИТЕ, что вытворяет ваша струна!
В этом посте я попробую изложить 3 взаимосвязанные темы: как происходят колебания гитарной струны, как работают флажолеты и почему звук электрогитарного датчика меняется в зависимости от его местоположения относительно струны.

Я сделал для примеров несколько видео со спектрограммами. Это простая штука. По горизонтали время, по вертикали частота, яркость линии означает интенсивность частот. Спектрограмма многое говорит о звуке.

Все музыкальные ноты выглядят на спектрограмме как ряд параллельных линий:

Видео 1: спектрограмма мелодии, сыгранной на электрогитаре

Всё потому, что любое сложное периодическое колебание (а значит - любая музыкальная нота) состоит из ряда колебаний кратных частот или может быть представлено в виде такой суммы. Они называются гармониками - первая, вторая, третья и так далее. Частота второй гармоники в два раза выше, чем у первой, третей гармоники - втрое выше, чем у первой, и так далее. Так что спектр ноты с частотой 100 Гц состоит из частоты 100 Гц и кратных ей частот. У гитарной струны может быть от нескольких до нескольких десятков гармоник. Точное их количество назвать затруднительно - как правило, чем выше гармоника, тем она слабее и тем быстрее затухает. Поэтому я буду описывать эти ряды вот так: {100, 200, 300, 400, 500, ...} Гц. В ряду может недоставать каких-то гармоник (присмотритесь к видео 1), что не мешает ноте быть нотой.

Когда пишут что «нота имеет такую-то частоту» , имеется в виду именно частота первой гармоники.

«Расклад» гармоник по уровням может быть разным - одни сильнее, другие слабее. От этого зависит тембр звука: много верхних гармоник - звук яркий, пронзительный, мало - звук мягкий, глухой. Вот одна нота (Ля 110 Гц) на разных инструментах:

Видео 2: нота Ля (110 Гц), сыгранная разными инструментами

Движения

Для примера возьмём открытую пятую струну Ля. Частота её первой гармоники - 110 Гц.

Почему именно пятую? Вот частоты всех открытых струн в стандартном строе:

E: примерно 329,63 Гц
B: примерно 246,94 Гц
G: примерно 196 Гц
D: примерно 146.83 Гц
A: ровно 110 Гц
E: примерно 82.4 Гц

Понятно, почему пятую.

Важный момент: в этом посте говоря о «струне», о «длине струны», о картине колебаний и т.д., я буду иметь в виду именно ту часть струны, которая вибрирует - от порожка до бриджа или от лада до бриджа, если струна прижата. Не буду каждый раз это обговаривать.

Струна одновременно совершает множество разных видов колебаний.

Первое колебание - самое простое:

Колебание первой гармоники струны (по клику откроется анимированная картинка)

Струна колеблется одной «дугой», с частотой первой гармоники (в нашем примере - 110 Гц). В центре струны амплитуда колебания больше всего, а чем ближе к краям, тем оно слабее.

Может показаться, что вот так то струна и колеблется, но это лишь часть картины.

Второе колебание:

Колебание второй гармоники струны (кликабельно)

Струна колеблется как бы отдельными половинками, в противоположных направлениях. Половинка колеблется вдвое чаще, чем целая струна, поэтому у второго колебания частота вдвое выше, чем у первого. В нашем случае получается частота второй гармоники - 220 Гц.

В середине каждой из «половинок» колебание максимально. Чем ближе к краям или середине струны, тем колебание слабее. В середине струны получается любопытная штука - так называемый узел колебания . Это место, расположенное как раз между половинками, в котором колебание второй гармоники отсутствует. Здесь могут быть другие колебания, но второй гармоники тут точно не будет.

Третье колебание:

Колебание третьей гармоники струны (кликабельно)

Здесь струна колеблется уже «третями» - внешние трети идут в одном направлении, средняя в обратном. А частота этого колебания втрое выше, чем у первой гармоники (в нашем случае - 330 Гц). Здесь уже два узла колебания - в точках, делящих струну на три равные части.

Остальные колебания устроены по тому же принципу. Чем дальше, тем больше частота колебания, количество частей и «узлов» между ними:

Амплитуда колебаний первых десяти гармоник струны в разных её участках

Подытожим: в разных точках струны происходят разные картины колебаний, с различными соотношениями гармоник. Например, в середине струны вторая гармоника отсутствует, а первой или третьей тут полно. Например, если взять точку струны совсем рядом с краем струны, то первой гармоники там будет мало, а четвёртой - заметно больше, чем первой. И у каждой гармоники своё «распределение по струне».

Флажолеты

Посмотрим теперь на самый простой натуральный флажолет: прикасаемся к струне пальцем левой руки над 12 ладом, а правой рукой дёргаем струну и получаем ноту на октаву выше.

Что за магия? Как так получается? Сейчас разберёмся.

Вернёмся опять к пятой струне с рядом гармоник {110, 220, 330, 440, 550, ...} герц.

Когда струну просто дёргают, в её колебании есть все возможные гармоники. А вот при извлечении флажолета палец, который прикоснулся к струне, убирает часть гармоник. Если палец находится над узлом колебания какой-то гармоники, он не мешает этому колебанию (примерно так). В остальных случаях - мешает, и колебание гаснет.

В нашем примере палец находится на середине струны: в этом месте у всех чётных гармоник находится узел колебания, а у всех нечётных - максимум колебания. Поэтому палец оставляет только чётные гармоники, а все нечётные «вырубает». И струна, вместо того, чтобы выдать свой полный ряд гармоник {110, 220, 330, 440, 550, ...} герц, теперь выдаёт ряд {220, 440, 660, 880, 1100, ...} герц. А значит, вместо ноты с частотой 110 Гц теперь звучит нота с частотой 220 Гц (гармоники - частота 220 Гц и кратные ей). А это - нота на октаву выше.

Повышение частоты ноты в 2 раза всегда делает эту ноту на октаву выше. Например, нота с частотой 220 Гц на октаву выше ноты с частотой 110 Гц.
Соотношение частот 3:2 даёт квинту. Например, нота с частотой 660 Гц на квинту выше ноты с частотой 440 Гц.
Соотношение 4:3 - даёт кварту.
Соотношение 5:4 - большую терцию.
Соотношение 6:5 - малую терцию.
На самом деле всё немножко сложнее, но об этом - в другой раз.

Палец, стоящий над 7-м или 19-м ладом, находится над узлом колебания третьей гармоники. Поэтому он глушит всё кроме третьей гармоники и кратных ей (3-я, 6-я, 9-я,..). Частота ноты от такого флажолета увеличится в 3 раза и вместо ноты на открытой струне получится нота на октаву+квинту выше её.

Палец над 5-м или 24-м ладом оставляет только четвёртую гармонику и кратные ей и повышает частоту ноты в 4 раза (плюс 2 октавы).

Палец над 4-м ладом, 9-м или 16-м ладом оказывается над узлом пятой гармоники и повышает частоту ноты в 5 раз (плюс 2 октавы и большая терция).

Видео 3: Флажолеты на открытой третьей струне в сравнении с обычной открытой струной. 12-й лад, 7-й, 5-й, и 4-й

У искусственных флажолетов (классический двухпальцевый, рокерский медиаторный, или тэповый флажолет) техника исполнения другая, но принцип действия тот же: мы заставляем струну колебаться и в то же время запрещаем ей колебаться в какой-то конкретной точке, «выключая» таким образом часть гармоник.

Один нюанс: искусственные флажолеты обычно играются на прижатых струнах. А у прижатой струны точки, где нужно делать флажолеты, сдвигаются. Например, если прижать ноту на 2 ладу, все флажолетные точки сдвинутся на 2 лада ближе к бриджу: середина струны теперь на 14-м ладу, точки, которые делят струну на трети - на 9-м или 21-м, и так далее.

Звукосниматель и струна

Теперь вернёмся от флажолетов к обычному звукоизвлечению и посмотрим, что происходит при съёме струны звукоснимателем.

У каждой гармоники амплитуда колебания варьируется в зависимости от того, какую точку струны мы рассматриваем. Эта зависимость у разных гармоник разная, так что в каждой точке струны своя картина гармоник. Магнитный звукосниматель электрогитары или баса снимает колебания не всей струны, а только её небольшой части, которая находится под ним. Попробуем разобраться, как зависит картина колебаний от того, какую точку струны мы снимаем.

Если звукосниматель стоит над узлом колебаний какой-то гармоники, то он её не снимет. Если рядом с узлом - снимет, но слабо. Чем дальше от узлов, тем больше этой гармоники попадёт в звукосниматель.

Если у вас под рукой есть стратокастер, можно проделать простой эксперимент: воткнуться в комбик, или во что угодно, главное - на чистом звуке, никакого подгруза. Переключиться на бриджевый звучок. Взять на любой струне открытый флажолет на 5-м ладу. Переключиться на нэковый звучок. Взять такой же флажолет. Разница будет радикальной - во втором случае звука практически нет.

А всё потому, что нэковый звукосниматель на стратокастере расположен практически на 1/4 длины открытой струны. Поэтому 4-ю гармонику открытой струны (и кратные ей) он практически не улавливает. А извлекая открытый флажолет на 5-м ладу, мы как раз оставляем только эти гармоники.

Допустим, звукосниматель стоит ровно под серединой струны (серая линия на картинке ниже). В этом месте у всех нечётных гармоник максимум колебания, а у всех чётных - «узел». Поэтому на выходе этого звукоснимателя будут только нечётные гармоники, а чётных не будет. Например, если взять всё ту же струну Ля, то вместо ряда {110, 220, 330, 440, 550, ...} Гц датчик выдаст ряд {110, 330, 550, 770, 990, ...} Гц. Заметим, в отличие от флажолетов это не даст другую ноту - у нас все гармоники по прежнему кратны 110 герцам, а не чему-то другому.

Теперь более реалистичный пример. Возьмём три звукоснимателя:
«нэковый» - на расстоянии 1/4 длины струны от бриджа,
«бриджевый» - на 1/20 длины струны от бриджа,
и «средний» - между ними, примерно на 1/7 длины струны от бриджа
(приблизительно так расположены три сингла на стратокастере)...

И посмотрим, какие гармоники открытой струны и в каких количествах в эти датчики попадут.

Например, из картинки выше понятно, что «нэковый» звукосниматель (синяя линия) не будет «слышать» четвёртую гармонику (а так же восьмую и все остальные гармоники, кратные четвёртой). Вторую, шестую и десятую он «услышит» максимально. Первую - процентов на 70. И так далее. Пройдёмся по всем 10 гармоникам во всех четырёх положениях и увидим такие картины гармоник:

Амплитуда колебаний первых десяти гармоник струны в четырёх точках (по клику откроется в полном размере)

Уже видно, почему нэковый датчик звучит «глубже» бриджевого - он получает гораздо больше нижних гармоник.

Обнаружилось интересное: звукосниматель работает как фильтр - в каждом случае имеется характерный ряд провалов в картине гармоник. Чем ближе к бриджу, тем эти провалы выше и реже (у «красного датчика» первый провал придётся на 20-ю гармонику). Если датчик стоит над узлом какой-то гармоники - он полностью теряет эту гармонику и все кратные ей. Если нет - провал попадёт куда-то между гармониками, как у нашего «зелёного датчика». Положение провала относительно гармоник изменяется РОВНО во столько же раз, во сколько датчик стал ближе или дальше от бриджа.

С открытой струной мы разобрались. Когда мы прижимаем струну на любом ладу, её вибрирующая часть укорачивается и вся картина колебаний сжимается по направлению к бриджу - все точки и участки (максимумы, узлы гармоник и всё остальное) сдвигаются на новое место. Звукосниматель, конечно же, остался там же где и был, поэтому теперь он «слышит» другую картину гармоник.

И частоты этих гармоник тоже получатся другие - ведь струну укоротили и увеличили этим частоту её колебаний. Поэтому происходят две штуки:

1. Вся картина колебаний струны «ужимается»: все точки (середина, треть струны и так далее) сдвигаются и становятся в N раз ближе к бриджу. Так как звукосниматель никуда не двигался, то его положение относительно струны теперь в N раз «дальше» от бриджа. А от этого положение «провалов» относительно гармоник понижается в N раз.
2. Частота колебания струны и частоты всех гармоник становятся выше в ТЕ ЖЕ N раз.

Эти два явления полностью уравновешивают друг друга - во сколько раз увеличивается частота гармоник, во столько же падает положение «провалов» относительно гармоник. В итоге частоты «провалов» в герцах у нашей струны не меняются!

Я это подробно расписывать не буду, только проиллюстрирую «на пальцах».

Рассмотрим «синий» звукосниматель, стоящий в 1/4 длины струны от бриджа. Берём открытую пятую струну. Она издаёт колебания с частотами {110, 220, 330, 440, 550, ...} Гц, а звучок из-за своего расположения «проваливает» 4-ю гармонику и кратные ей - то есть, частоты 440, 880, 1320 Гц и т.д.

Прижмём эту же струну на 12 ладу. Теперь струна колеблется с частотами {220, 440, 660, 880, 1100, ...} Гц, а звукосниматель находится на её середине и «теряет» все чётные гармоники - то есть всё те же 440, 880, 1320 Гц и т.д. Теперь это не каждая четвёртая, а каждая вторая гармоника, но частоты то те же.

Это легко проверить: подключаем гитару, включаем спектроанализатор, выбираем один из звукоснимателей и делаем слайд по всей струне. Будут видны характерные частотные провалы, которые НЕ ЗАВИСЯТ от того, на каком ладу нота:

Видео 4: частотные провалы на одной и той же струне, снятой сначала бриджевым, потом нэковым синглом.

Чем ближе к бриджу расположен звукосниматель, тем провалы реже и выше.

Положение «провалов» зависит только от двух вещей:
1. Частота колебания открытой струны.
2. Положение звукоснимателя относительно струны.
Поэтому «фильтр» на каждой струне будет свой - чем выше настроена струна, тем провалы выше и реже. Это хорошо видно при игре чистых переборов, например:

Видео 4: частотные провалы всех шести струнах, снятых нэковым синглом. Аккордовый перебор, снятый им же.

Основная причина, по которой различается звук датчиков, расположенных под разными участками струны - это «фильтр», который получается из-за того, что гармоники определённым образом распределены по струне. Этот фильтр существует всегда, где бы ни находился датчик. Структура его одинакова, меняется лишь масштаб.

Одно из следствий всего этого - чем ближе к бриджу, тем больше изменение положения звукоснимателя сказывается на звуке. Если сдвинуть нэковый звукосниматель на пару сантиметров в сторону - частоты «фильтра» сместятся на несколько процентов. Если на столько же сдвинуть бриджевый датчик - частоты сдвинутся на несколько десятков процентов. Потому что вопрос не в том, насколько сдвинулся датчик, а во сколько раз он ближе/дальше к бриджу. Надо воспринимать всё логарифмически.

В частности, иногда встаёт вопрос - какую из катушек оставлять рабочей при отсечке хамбакера? Так вот у нэкового хамбакера разница между катушками получится совсем небольшая, а у бриджевого - радикальная.

Недавно вконтакте

На рис.3 представлены типичные зависимости квадрата частот колебаний струны от силы натяжения для различных гармоник n . Наблюдение cобcтвенныx колебаний cтpуны затpуднено, так как они отноcительно быcтpо затуxают. Поэтому в pаботе pаccматpиваютcя колебания, возбуждаемые поcтоянно дейcтвующей пеpиодичеcкой вынуждающей cилой.

Экспериментальная установка

Уcтановка (pиc. 4) состоит из металличеcкой рамы, состоящей из двух направляющих труб (1) , закрепленных на определенных расстояниях с помощью брусков (2) . На одном из брусков (2) установлена стойка (3) предназначенная для закрепления одного конца струны (4). На другом бруске (2) установлено устройство А , служащее для изменения натяжения струны и состоящее из пружинного динамометра (5) и узла его перемещения (6) . К пружине динамометра закреплен другой конец струны (4) . Сила натяжения изменяется ручкой (7) , а измеряется пружинным динамометром (5) . На направляющих трубах (2) укрепляются на определенных расстояниях бруски с установленными на них элементами. Стойками (8) устанавливается рабочая длина струны (4) . Длина струны между двумя закрепленными ее концами, равная расстоянию между стойками (8) измеряется линейкой (9) , находящейся на одной из труб. Колебания струны возбуждаются с помощью электромагнитного вибратора (10) , питаемого переменным током от генератора (11) , который имеет встроенный частотометр. Эле ктромагнитный вибратор (10) заставляет струну совершать вынужденные колебания с частотой генератора (11) . Амплитуда колебаний регистрируется электромагнитным датчиком (12) , соединенным с вольтметром (13) . Величина сигнала, выдаваемого электромагнитным датчиком, зависит от его расстояния до струны. Это изменение осуществляется с помощью винта (14) . Аналогичное устройство используется для регулировки расстояния между вибратором и струной. Расстояние между струной и вибратором меняется с помощью винта (15) , при этом изменяется амплитуда вынужденных колебаний струны.

Проведение эксперимента
Упражнение 1. Установление зависимости частот собственных колебаний от силы натяжения струны.
Cила натяжения P опpеделяет cкоpоcть pаcпpоcтpанения возмущения вдоль cтpуны (2) и, cледовательно, чаcтоту cобcтвенныx колебаний (19). В этом упpажнении экcпеpиментально опpеделяетcя xаpактеp завиcимоcти v n от cилы натяжения cтpуны P .

Измерения

Стойками (8) установите максимальную кратную 10 см длину струны. Натяните струну с силой 2 кГс (1 кГс=9.8 Н). Вибратор установите в положение, отстоящее на 10 см от закрепленного конца струны. Установите датчик приблизительно в 10 см от середины струны.

Изменяя частоту генератора ручкой "грубо" (начиная от нулевого значения по его школе) зафиксируйте максимальное отклонение стрелки вольтметра, регистрирующего амплитуду колебаний струны. При этом частота колебаний струны, установленная по шкале встроенного в генератор есть "грубое" значение экспериментально установленной резонансной частоты. Для определения точного значения величины v эксп воспользуйтесь шкалой "плавно" генератора. Поворачивая вправо или влево ручку генератора "плавно" добейтесь максимального отклонения стрелки (если при этом стрелка выходит за предел шкалы, увеличивайте диапазон измерений вольтметра ручкой "диапазон"). Запишите показание встроенного частотомера. Это значение резонансной частоты.

Установите, какой из гармоник соответствует данное колебание. Для этого не изменяя частоту генератора, перемещая датчик вдоль струны, определите количество узловых точек (при нахождении датчика под узловой точкой его сигнал равен нулю). Номер гармоники n колебания опpеделяетcя по фоpмуле n = N + 1 , где N - число узлов (не считая точки закрепления).

Увеличивая частоту колебаний, описанным выше образом, чтобы установите резонансные частоты для последующих четырех гармоник. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.

Установите значения нормальных колебаний первых гармоник для различных значений натяжения струны P . Для этого в области частот нормальных колебаний для соответствующих гармоник, установите частоты при которых наблюдаются максимальные колебания (по вольтметру) струны для сил ее натяжения равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.

Обработка результатов

С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот v теор нормальных колебаний для пяти первых гармоник при натяжениях струны равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Результаты расчетов внесите в табл.1.

Постройте теоретические зависимости квадрата частоты v 2 теор от силы натяжения P для пяти первых гармоник колебаний. Они должны быть подобны показанным на рис.3.

Отметьте на теоретических зависимостях квадраты экспериментально установленных значений частот пяти первых гармоник нормальных колебаний для разных величин P . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 2 n для нормальных колебаний.

Таблица 1

P , кГс	1-я гармоника		2-я гармоника		3-я гармоника		4-я гармоника		5-я гармоника
	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор
2
3
4
5
6
7

Упражнение 2. Определение зависимости номера гармоники колебания от натяжения струны.

Из рис. 3 видно, что значение v 2 (а следовательно и частоты нормальных колебаний) для разных гармоник могут принимать одинаковые значения при определенных величинах силы натяжения струны P . Поэтому меняя силу натяжения струны можно наблюдать различные гармоники нормальных колебаний на одной и той же частоте. В данном упражнении за счет изменения силы натяжения струны проводят наблюдение различных гармоник нормальных колебаний на одной и той же частоте.
Измерения

Натяните струну с силой 2 кгс и найдите 5-ю гармонику по методике, описанной в упр.1.

Не меняя частоты генератора и увеличивая натяжение струны определяют значения P , при которых наблюдаются максимальные значения амплитуд колебаний. По методике, описанной в упр.1 устанавливают число узловых точек и соответственно номера гармоник для данных нормальных колебаний.

Найденные значения сил натяжения и соответствующие им номера гармоник занесите в табл.2.

Таблица 2

Обработка результатов
Постройте график зависимости n от P .

Упражнение 3. Опpеделение завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний от длины cтpуны.

Измерения

Установите силу натяжения струны 3кГс.

Используя методику, описанную в упр.1 определите значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний. Результаты занесите в табл.3

Изменяя длину струны (уменьшая каждый раз ее длину примерно на 20 %) определите значения частот 1 и 2 гармоник ее собственных колебаний. Результаты эксперимента занесите в табл.3

Таблица 3

L , см	1/L , см -1	1-я гармоника		2-я гармоника
		v эксп	v теор	v эксп	v теор

Обработка результатов

С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний струны при тех ее длинах, для которых получены экспериментальные результаты. Результаты занесите в табл.3.

Постройте теоретические зависимости v 1,2 от величины, обратной длине струны 1/L .

Отметьте на теоретических зависимостях экспериментально установленные значения частот 1 и 2 гармоник нормальных колебаний для разных значений 1/L . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 1,2 для нормальных колебаний.

Основные итоги работы
В xоде pаботы должны быть экcпеpиментально получены завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний cтpуны от cилы натяжения и длины. Результаты должны быть cопоcтавленны c теоpетичеcки pаccчитанными завиcимоcтями для извеcтной линейной плотноcти cтpуны.
Контрольные вопросы

Что такое свободные, вынужденные, собственные и нормальные колебания системы?

Сколько степеней свободы имеет натянутая струна, сколько нормальных колебаний в ней может быть возбуждено?

Вывести волновое уравнение.

Вывести связь между частотой нормального колебания, длиной струны и скоростью распространения волны в струне.

Что происходит в струне, когда частота внешнего сигнала выбрана произвольно (не обязательно равной одной из собственных частот)?

Литература

Стрелков С.П. Механика, М. Наука, 1975, гл.15, § 143.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.1. Механика. М. Наука, 1989, § 84.

4. Степени свободы и обобщенные координаты. Число степеней свободы абсолютно твердого тела.

5. Основная задача динамики. Понятие состояния в механике. Законы Ньютона.

6. Система единиц си. Границы применимости классической механики.

7. Импульс, закон сохранения импульса. Применение закона сохранения импульса к абсолютно неупругому удару. Движение тел с переменной массой.

Движение тел с переменной массой.

8. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

9. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

10. Силы в природе. Силы сухого и вязкого трения.

11. Упругая сила, закон Гука.

12. Консервативные и неконсервативные силы в механике. Потенциальная энергия.

13. Кинетическая энергия. Закон сохранения энергии в механике.

14. Закон всемирного тяготения. Движение в центральном поле. Космические скорости. Законы Кеплера.

15. Уравнение движения абсолютно твердого тела. Центр масс, примеры вычисления центра масс.

16. Плоское вращение абсолютно твердого тела и его кинетическая энергия.

17. Момент инерции тела и его физический смысл. Примеры вычисления момента инерции твердых тел. Теорема Штейнера.

19. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

20. Гидродинамика вязкой жидкости, коэффициент вязкости. Течение по трубе. Формула Пуазейля. Закон подобия. Формула Стокса. Турбулентность.Движение вязких жидкостей и газов

21. Основное уравнение молекулярно - кинетической теории идеального газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

22. Молекулярно - кинетический смысл температуры.

23. Внутренняя энергия идеального газа.

24. Теплоёмкость идеального газа при постоянном объеме и давлении.

25. Статистические распределения. Вероятность и флуктуации.

26. Распределение Максвелла.

27. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости газовых молекул.

28. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

29. Понятие о физической кинетике. Средняя длина свободного пробега, эффективный диаметр молекул и сечение рассеяния.

30. Вязкость, теплопроводность и диффузия в газах.

31. Обратимые и необратимые термодинамические процессы.

32.Первое начало термодинамики. Простейшие термодинамические процессы.

33. Кпд идеальной тепловой машины. Цикл Карно. Понятие термодинамической температуры.

34.Энтропия и ее термодинамический смысл. Второе начало термодинамики.

35. Уравнение Ван-дер-Вальса и его анализ. Экспериментальные изотермы.

36. Перегретая жидкость и перенасыщенный пар. Внутренняя энергия реального газа.

37.Эффект Джоуля - Томпсона. Сжижение газов.

38.Строение жидкостей. Силы поверхностного натяжения. Коэффициент поверхностного натяжения.

39. Давление под изогнутой поверхностью жидкости. Формула Лапласа.

40. Явление на границе жидкости и твердого тела. Краевой угол. Капиллярные явления.

41. Твердые тела. Аморфные и кристаллические тела.

42. Анизотропия кристаллов. Дефекты кристаллов.

43. Фазовые переходы первого и второго рода. Кривая фазового равновесия.

44. Фазовая диаграмма состояния вещества. Тройная точка. Уравнение Клайперона - Клаузиуса.

45. Уравнение гармонического колебания и его основные параметры.

48. Физический и математический маятники. Приведенная длина и центр качания физического маятника.

49. Уравнение затухающих колебаний. Декремент затухания.

50. Действие периодической силы на затухающий гармонический осциллятор. Резонанс.

51. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты и направления. Векторная даграмма.

5°. Если одновременно совершаются два гармониче­ских колебания одинаковой частоты и разных ампли­туд:

52. Сложение гармонических колебаний разной частоты. Биения.

53. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

54. Уравнение плоской гармонической волны и ее основные параметры: длина волны, волновое число, фазовая скорость волны. Продольные и поперечные волны.

55. Волновое уравнение. Фазовая скорость волны в твердых телах и жидкостях.

56.Скорость звука в газах.

57. Передача информации с помощью волн.

58. Групповая скорость волны. Дисперсия.

59.Стоячие волны. Колебания струны.

60. Громкость и высота тона звука.

61. Эффект Доплера.

62. Физические измерения. Погрешности измерений.

59.Стоячие волны. Колебания струны.

Стоя́чая волна́ - колебания в распределенных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе - волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа.

Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно знать компоненты вектора смещения точки xв момент времени t.

Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,U) и что вектор смещения

перпендикулярен в любой момент времени к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией U(x,t) (смотри рисунок) .

Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны.

Уравнение колебаний струны.

а=const- зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.

Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны

Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик);

Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).

60. Громкость и высота тона звука.

Звуковые волны – продольные.

сейсмические – поперечные и продольные

20 – 20000 Гц > …..

инфра ультра

звук звук

Тон – звук одной частоты.

Обертон – дополнительная частота.

Тембр – оттенок звука.

Шум – много частот.

Громкость звука зависит от амплитуды колебаний.

Высота звука зависит от частоты колебаний.

61. Эффект Доплера.

Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника. Его легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, тот услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.

Для волн, распространяющихся в какой-либо среде (например, звука) нужно принимать во внимание движение как источника так и приёмника волн относительно этой среды. Для электромагнитных волн (например, света), для распространения которых не нужна никакая среда, имеет значение только относительное движение источника и приёмника.

Эффект был впервые описан Кристианом Доплером в 1842 году.

Также важен случай, когда в среде движется заряженная частица с релятивистской скоростью. В этом случае в лабораторной системе регистрируется черенковское излучение, имеющее непосредственное отношение к эффекту Доплера.

Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа - ниже (меньше), другими словами, если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется - длина волны увеличивается.

"

Цель работы : изучение волновых явлений, условия существования стоячих волн, исследование упругих свойств струны.

Основные теоретические положения

Пусть точка, совершающая колебания, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний точки может передаваться окружающим точкам, вызывая их колебания. Явление распространения колебаний в среде называется волной. При этом колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия.

Если в неограниченной среде беспрепятственно распространяется единственная волна, то она называется бегущей. Составим уравнение бегущей волны, позволяющее определять смещение любой точки волны в любой момент времени.

Р

Рис. 9.1. К выводу уравнения бегущей волны

ассмотрим непрерывную однородную среду− струну, которая на концеx =0 присоединена к источнику гармонических колебаний в момент времени t ’: D (t ’)= Asint ’. Найдём смещение элементов струны, как функцию координаты x и времени t , то есть функцию
. Очевидно, что для точкиx =0,
= D (t ’)= Asint ’ (рис. 9.1). Предположим, что бегущее по струне возмущение распространяется с некоторой скоростью. Смещение элемента струныx в момент t равно смещению элемента x =0 в момент t ’
=
, если расстояние между ними равно расстоянию, которое возмущение проходит за время t - t ’ со скоростью . Тогда точкиx =0 и x = x колеблются в одной фазе: x =(t - t ’),
,
. Поэтому уравнение бегущей синусоидальной волны
=
= Asint ’ , то есть

. (9.1)

Преобразуем функцию (9.1):
. Обозначим= k и назовём его волновым числом, тогда
=
. Следовательно, скорость
,
. Величину
, равную расстоянию, которое возмущение преодолевает за период колебаний, назовём длиной волны, то есть
, тогда
,
.

Уравнение (9.1) и есть уравнение бегущей одномерной (или плоской) волны. При заданном x оно позволяет определить положение точки (с координатой равновесного положения x ) в любой момент времени t . При заданном t оно позволяет определить мгновенные положения всех колеблющихся точек.

Таким образом, видим, что в волновом движении имеет место двоякая периодичность. С одной стороны, каждая частица среды совершает периодическое движение во времени, с другой стороны, в каждый момент времени все частицы располагаются на линии, форма которой периодически повторяется в пространстве.

Определим скорость распространения продольных колебаний вдоль бес­конечно длинного стержня с постоянным поперечным сечением.

П

Рис. 9.2. Распространение упругой деформации вдоль стержня

ридействии на левое сечение силой (рис. 9.2) вблизи этого сечения происходит уплотне­ние материала стержня, и возникает деформация сжатия. Появляются упругие силы, стремящиеся восстановить первоначальную плотность, в результате чего возникает сжатие соседних областей и таким образом локальное возмущение плотности вблизи левого края стержня распространяется вправо со скоростью . Импульс силы упругости
равен

. Если Е − модуль сжа­тия, иначе называемый модулем Юнга, то
. За время
деформация распространяется на расстояние
. Масса участкастержня, охваченная деформацией, увеличится на
вследствие уве­личения плотности материала на
.Так как
,то
. В соответствии со вторым зaконом Ньютона импульс силы упругости равен изменению импульса, то есть
. Подставляя все величины, получим

или
, (9.2)

где
- погодная плотность материала стержня.

Уравнение (9.1) описывает волну, распространяющуюся в положитель­ном направлении оси ох. При изменении направления распространения волны на противоположное второе слагаемое в аргументе косинуса изменяет знак, так как заменяется на

. (9.3)

Рассмотрим теперь распространение волны в струне, закрепленной с обеих сторон. При этом волна, движущаяся в одном направлении, достигнув второго закрепленного конца струны, отразится и станет распространяться в противоположном направлении. Таким образом вдоль длины струны возникнет явление наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Если свойства среды не изменяются под воздействием распространяющейся волны, то будет выполняться принцип суперпозиции, согласно которому каждая волна распространяется в среде независимо от других. В этом случае результирующее смещение z частиц среды будет определяться как сумма смещений z 1 и z 2 , обусловленных прохождением отдельных волн. В результате будет наблюдаться в различных точках среды усиление или ослабление колебаний в зависимости от фаз приходящих возмущений.

Сложение волн, при котором в разных точках среды образуются усиления и ослабления амплитуды колебаний, называется интерференцией волн. Такая интерференционная картина сохраняется во времени.

Рассмотрим интерференцию двух волн с одинаковой амплитудой, распространяющихся в противоположных направлениях, как в случае струны, закрепленной с обеих сторон. При этом необходимо учитывать следующее явление. После отражения от закрепленного конца отраженная деформация имеет противоположный знак. Это становится понятным, если учесть, что так, как смещение закрепленного конца все время отсутствует, у точки крепления развиваются силы, препятствующие приходящему изгибу струны. Эти силы порождают изгиб противоположного знака, начинающий распространяться в обратную сторону. Поэтому и в отраженной деформации знак смещения изменяется на обратный. Если отражается гармоническая волна, то такое изменение равносильно «потере» полуволны при отражении.

Таким образом, наложение двух волн даст следующее:

Используя формулу разности синусов, получим

. (9.4)

Это выражение называется уравнением стоячей волны, при этом предполагается режим установившихся колебаний, то есть режим, возникающий после многократного пробега волн между креплениями струны. Из (9.4) видно, что в стоячей волне все точки среды (любое значение x ) колеблются по гармоническому закону с круговой частотой .

Амплитуда колебаний различна для разных точек и определяется из (9.4) следующим образом:

. (9.5)

Из последнего выражения вытекает, что есть точки среды, называемые узлами, в которых колебания отсутствуют Z m = 0, следовательно, z = 0. Координаты этих точек определятся из условия равенства нулю синуса в выражении (9.5), то есть

. (9.6)

Отсюда, так как
, получаем

.

Следовательно, расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. Так как узлы все время остаются в покое, то в стоячей волне нет направленного переноса энергии, энергия не может перейти через узел. Передача энергии по струне производится только бегущей волной.

Те точки, в которых значение амплитуды достигает максимума
, называются пучностями. Как следует из выражения (9.5), координаты этих точек определяются из условия
, то есть отвечают уравнению
. Видим, что расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны.

Множитель
при переходе через узел меняет знак, вследствие чего фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на. Все точки, находящиеся между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе (их отклонения имеют одинаковый знак). Условие неподвижности обоих концов закрепленной струны приводит к тому, что на длине струны должно укладываться целое число полуволн:

. (9.7)

Таким образом, стоячая волна образуется только при надлежащем соотношении размеров струны и длины волны (частоты колебаний). Для разных значений n = 1, 2,… получим различные типы, или моды, колебаний, при этом n определяет число пучностей, а не узлов. Из (9.6) с учетом (9.7) получим формулу для частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны

, (9.8)

Частоты называют собственными частотами струны. Частоту
называют основной частотой, остальные
– обертонами. Видим, что определяемые формулой (9.8) собственные частоты не зависят от модуля Юнга материала. Этот результат является следствием того, что мы пренебрегли изменением натяжения струны при колебаниях.

В общем случае в струне могут одновременно существовать колебания с различными собственными частотами. Так, наряду с основным тоном n = 1, могут возбуждаться обертоны n = 2, 3, 4,….

Полученные выше уравнения описывают движение идеально гибкой струны в вакууме. При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии.

Часть энергии теряется вследствие трения о воздух, другая часть уходит через концы струны и т.д. Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь в точности компенсируется энергией, поступающей от вибратора, то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне должна происходить передача энергии. Поэтому наряду со стоячими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы окажутся несколько размытыми. Если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной будет незначительным.

Другим приближением в изложенной выше теории является пренебрежение неоднородностью струны. В реальной струне и плотность, и натяжение могут являться непрерывными функциями координаты Х . Например, если струна подвешена вертикально, то учет массы струны приведет к тому, что натяжение в верхних частях будет больше, чем внизу. Любая неоднородность приведет к искажению формы колебаний, так как синусоидальные колебания в пространстве характерны только для нормальных мод однородных систем.